摘要： 本文提出了一种通用的低通到高通滤波器转换方法，旨在克服传统转换方法的缺陷。该方法以优化设计的低通滤波器传输函数为基础，通过理论推导和实际验证，证明了其能有效地生成性能良好的高通滤波器。
0 引言
滤波器是一种电子器件，其作用是允许特定频率的信号通过，同时抑制或大幅衰减其他频率的信号。传统的滤波器主要由无源元件，如电阻（R）、电感（L）和电容（C）组成。自20世纪60年代以来，随着集成运放技术的快速发展，由运放、电阻和电容构成的有源滤波器逐渐取代无源滤波器，成为数据传输、信号处理和干扰抑制等领域的热门选择。有源滤波器具有体积小、重量轻、无需电感等优势。
有源滤波器在现代生活中不可或缺，通常作为系统中的一个模块发挥作用。其性能直接影响整个系统的性能。目前，低通滤波器的研究已较为成熟，而对高通滤波器，尤其是高阶高通滤波器的研究相对较少。尽管近年来出现了开关电容式专用滤波芯片，但其电路噪声仍然存在问题。对高阶RC有源高通滤波器的优化设计研究具有重要的实用价值。
1 四阶高通有源滤波器优化设计步骤
1.1 四阶低通滤波器的优化设计
二阶低通滤波器是常用的滤波单元，也是构成高阶滤波器的基本模块。常见的二阶低通滤波电路包括MFB形式和VCVS形式。VCVS形式的二阶低通电路因其具有高输入阻抗、低输出阻抗、所需的精密电阻与电容器件少、对运放要求较低等优点而被本文采用，作为构建四阶低通滤波器的基本单元。典型的二阶低通滤波电路如图1所示。
根据基尔霍夫电流定律和运放的“虚短”和“虚断”原则，可以推导出图1的传输函数为：
利用线性网络理论，结合有源滤波器的级联特性，可以将两个上述二阶滤波器级联组成四阶低通滤波器。其电路原理图如图2所示。
其传输函数可推导出为：
为了简化计算，令R1=R2=R11=R22=1 Ω，则四阶低通的传输函数可写为：
巴特沃斯低通滤波器因其在通频带内具有平坦特性，且在过渡带和阻带内具有单调下降的幅频特性而被广泛应用。四阶巴特沃斯归一化低通传输函数可表示为：
通过比较式（3）和式（4），可以发现，只要将它们等同，就可以用两个二阶低通传输函数网络的级联来实现四阶巴特沃斯低通传输函数：
C1C2C11C22=1.00（5）
2C1C2C22+2C2C11C22=2.61（6）
C1C2+4C2C22+C11C22=3.41（7）
2C2+2C22=2.61（8）
解得：
C1=1.082，C2=0.924 1，C11=2.613，C22=0.382 5（9）
理论上，这样就将四阶低通滤波器优化为归一化的四阶低通巴特沃斯滤波器。其电路原理图如图3所示。
仿真软件的仿真结果表明，该电路确实具有巴特沃斯滤波器的幅频特性。该归一化低通滤波器为后续高通滤波器的设计奠定了基础。低通滤波器中四个电阻的阻值为1，方便后续转换为高通滤波器时选择合适的电容。
1.2 四阶低通到四阶高通的转换与优化设计
传统的低通到高通电路转换方法是：将低通网络中的每个电阻Ri变换为电容值为1/Ri F的电容，同时将每个电容Cj变换为阻值为1/Cj ?赘的电阻[4]。这样得到的高通滤波器的参数为：
归一化四阶高通滤波器的电路如图4所示。
在实际电路中，这种简单的低通到高通转换通常无法得到滤波特性理想的高通滤波器。仔细观察分析上述滤波网络的传输函数，如式（1）、式（2），可以发现：如果将滤波网络中的所有电阻都乘以一个常数f，同时将所有电容都除以相同的常数f，则滤波网络的传输函数保持不变（因为电容和电阻总是以乘积的形式成对出现），但其幅频特性会得到显著改善（通过仿真和实际电路观测其幅频特性可以验证）。
需要注意的是，该常数的取值需要计算，具体计算方法见下文的实例，同时还需要进行仿真和调试以最终确定其值。一般来说，在低频段，该常数的值应该更大，反之亦然。
2 设计实例与仿真
2.1 设计要求
设计一个高通滤波器，技术指标为：在600 Hz处的最大衰减为3 dB，在250 Hz处的最小衰减为30 dB。
2.2 设计过程
根据题意，其转折频率ω0=2π×600=3 770 rad/s。首先找到归一化巴特沃斯低通模型，确定滤波器阶数。由于600/240=2.5，即在2.5 rad/s处的最小衰减为30 dB。查阅巴特沃斯幅频响应图[5]，得知四阶巴特沃斯低通滤波器满足要求。
接下来，可以使用上述方法和过程设计高通滤波器：在图3归一化的四阶低通巴特沃斯滤波器电路的基础上，将电容替换为电阻，其阻值为该电容的倒数；同时将电阻替换为电容，其电容值为电阻值的倒数，参数如式（9）所示，得到图4所示的归一化高通滤波器。
现在需要确定合适的常数f的值。为了方便起见，先选择C′=0.1
F，则f=C/（C′×ω0）=1/（0.1×10-6×3 770）=2 653。仿真验证表明，当值为2 653时，滤波器具有较好的滤波特性。滤波网络的参数变为： C1=C2=C11=C22=0.1
F
R1=0.924×2 653=2.45 kΩ
R2=1.082×2 653=2.87 kΩ
R11=0.383×2 653=1.01 kΩ
R22=2.614×2 653=6.93 kΩ
最终电路原理和参数值如图5所示。
2.3 仿真
本节采用 Multisim 11 电路仿真软件，对图 4 中设计完成的四阶高通滤波器电路进行仿真。仿真所得的幅频特性曲线如图 6 所示。高通滤波器归一化的传递函数在部分频点上的幅频特性见表 1。
从图 6 和表 1 可知，该滤波器在 600 Hz 处的最大衰减为 3 dB，在 250 Hz 处的最小衰减为 30 dB，并且在通带内具有最大的幅度特性，完全满足设计要求。
3 结论
本文基于优化设计的四阶巴特沃斯低通滤波器，通过从低通到高通的变换，成功地设计了四阶高通滤波器。仿真结果表明，该方法有效可行，能够满足设计需求。