科普门槛：对数学有浓厚兴趣，具备《高等数学》层次的知识，包括线性代数和群论的基础。
“从代数的角度看分析”是一种创新的视角，只有经验丰富的数学家才能轻松掌握。正如前苏联的代数大师沙法列维奇所阐述，需要深刻的抽象代数知识。作者坦言，他所提供的仅仅是代数视角下的概览，而非正式的教学指南。这是一种结合了代数、几何和复分析等众多领域的跨学科研究。
对于爱好者而言，可能难以从代数角度严格解释积分的概念。从科普的角度出发，本文旨在借助简化的代数知识，阐明积分的本质，让读者感受到积分是一种映射。
在这里提及的积分主要指数学分析中的黎曼积分，可分为定积分和不定积分两种。从代数角度来看，它们略有差异。
定积分相对简单。它可以表示为函数或数值，通过计算被积函数的原函数并进行减法运算得到。定积分符号 () 和函数符号 F() 没有本质区别，只是前者明确了具体的计算过程，而后者将其抽象化。
定积分是一种函数，可作用于另一个函数上。这种作用函数被称为“泛函”。定积分具有分配率和线性性质，满足“向量”的特征，存在于一个无限维的泛函向量空间中。
定积分无法对函数乘积进行逐项运算，即设 T 为定积分算子，T(f·g) 并不等于 T(f)T(g)。这限制了定积分在代数结构中的推广，只能将其应用于向量空间。
现在考虑不定积分，这是本文的重点和难点。设 V = {f ∈ R[x] | f^(k+1) ∈ R}，W = {g ∈ R[x] | g^k ∈ R}，其中 k ≥ 0。R 为实数集。
令 T 为导数算子，它是一种映射 T：V→W，V 和 W 是上述两个向量空间。T 是线性映射。其核 kerT 等于 R，即满足 T(x) = 0 的 x 的集合。T 的核是 V 的一个子集。
证明：V 是 k+1 阶可微函数的空间，W 是 k 阶可微函数的空间，0 函数是 W 的加法幺元。T：V→W 的核是 V 中那些一阶导数为 0 的函数的集合。根据导数的性质，核为全体常函数的集合，即 R。
下面说明 T 是满射。
说明：当 k = 0 时，V 是 1 阶可微函数空间，W 是连续函数空间。根据原函数存在定理，在 R 的某个区间（包括 R 本身）上，如果一元实值函数连续，那么它一定存在原函数。此时 W 的元素都是连续函数（例如 f(x)），它们都有原函数（例如 F(x)）。根据原函数的性质，原函数的导数正是某个连续函数（即 F'(x) = f(x)）。原函数是 1 阶可微函数。当 k ≥ 1 时，W 的元素都是可微函数，因为可微必连续，所以它们依然都有原函数，且原函数都属于 k+1 阶可微函数。
我们找出了 T 的核，并证明了 T 是满射。这些都是使用群同构定理的先决条件。
根据群的“第一同构定理”，可由映射 T：V→W 得到同构映射 S：V/R→W，其中 R 是 T 的核。同构映射是双射，因此它有逆映射，其逆映射也是同构，即：W→V/R，其元素对应为 f(x)→F(x)+R。显然，根据商集的定义，每个陪集 F(x)+R 都是 V 的子集。
这意味着我们有：(f(x))=F(x)+R。下面说明：
如果 T：V→W 是导数算子，那么 W→V/R 就是代数意义下的不定积分。
首先选定一个 F(x)，然后取 R 中的一个元素 c，则 F(x)+c ∈ V。映射 S 的同构性保证集合 F(x)+R 与 f(x) 唯一对应。由于 F(x) 是选定的，所以 f(x) 是确定唯一的。考虑 T 限制在集合 F(x)+R 上的映射，即 T：F(x)+R→W，则其中的每一个元素通过 T 联系到 f(x)，即 T(F(x)+c) = f(x)，写成常见形式就是 f (x) = F (x) + c。这表示 F(x)+c 是 f(x) 的某个原函数。
T 显然是多对一映射，因此没有逆映射。其逆过程（即不定积分）只能是 T 的逆像，即 (f(x))=F(x)+R。显然，根据我们之前的定义，(f(x))=F(x)+R。这说明，对于任意一个 W 中的函数 f(x)，导数的逆像是函数 f(x) 的一族原函数 F(x)+R，而不是某个确定的原函数 F(x)+c。
如果你已经理解了本文，可能会产生疑问：我们通常计算的不定积分的形式是 ∫ f (x) dx = F (x) + c，而代数意义的不定积分得到的是一族函数 F(x)+R，两者似乎不同。
确实如此，因为代数意义的不定积分操作的是商集和陪集，而分析中的不定积分得到的是某个确定的原函数。它们的区别在于，导数算子不是双射，而代数意义的不定积分只是其逆像。在映射与商集的角度，我们只能得到一个元素到其所在陪集（商集的元素）的映射，无法得到更精确的结果。
代数和分析意义下的不定积分本质上是相同的。在学习不定积分时，老师通常会提到，原函数后面加 c 表示一个函数的原函数不唯一，而是有一族。而代数映射清晰地表明了这一点：代数意义下的不定积分不是简单地将导数算子的像集合映回到其定义域，而是映到其定义域的商集。这就是代数想要告诉我们的：在商结构下不定积分的映射性质。
我关注的一位数学博主最近写了一篇有趣的文章。他提到了笛卡尔的名言：所有问题都可以转化为数学问题，所有数学问题都可以转化为代数问题，所有代数问题都可以转化为方程问题。只要解开方程，所有问题都将迎刃而解。哈哈，我并不能完全赞同这位先哲的观点。我给博主留言，问他：“微分方程能被看作纯粹的代数问题吗？你不用积分怎么解？难道要靠数值迭代？”他回答说：“通过解析延拓，微分方程也能被看作代数方程。”
我真是大开眼界。不得不说，代数能带给我们的远比我们想象的要多得多。