探讨算法的效能，主要关注其执行时所需的机器资源。在各种资源中，时间和空间占据着举足轻重的地位。在分析算法时，我们重点关注算法运行所需的时间以及算法中数据所占用的空间资源。算法的运行时间通常被称作时间复杂度，而所使用的空间资源则称为空间复杂度。
1. 时间复杂度
算法分析中，时间复杂度是衡量算法效率的重要指标。我们需分析算法执行过程中语句的总执行次数T(n)，这个次数是关于问题规模n的函数。为了量化这种关系，我们采用大O标记法（Order的简写）。随着问题规模n的增长，T(n)也会增长，其中增长最慢的T(n)代表着时间性能最优的算法。
在计算时间复杂度时，我们根据T(n)与n的最高阶数关系对算法进行分类。如表1所示，列出了几种常见的关系。那么，这些关系是如何推导出来的呢？下面给出大O阶的推导方法。
（1）将运行中的所有加法常数替换为常数1。
（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
（3）如果最高阶项存在且不是1，则除去其常系数，得到的结果就是大O阶。
接下来，通过分析几个程序段的执行过程来推导其时间复杂度。
程序段1的执行过程如下：该程序段包含4行代码，每行执行1次，总共执行4次。f(n）=4，即T(n)=O(4)。按照推导方法的规则，我们将常数项以1代替。在保留最高阶项时，发现其没有最高阶项，因此该算法的时间复杂度为O(1)，即常数阶。
程序段2的执行次数为1+n+1，即f(n)=n+2，所以T(n)=O(n+2)。替换常数项并仅保留最高阶项后，得出T(n)=O(n)，因此该算法的时间复杂度为O(n)，即线性阶。
程序段3中，当i<n时循环结束。如果循环次数为f(n)，则2f(n)=n，即f(n)=log2n，T(n)=O(log2n)。消除常系数并保留最高阶项后，得出T（n)=O（logn），即对数阶。
通过大O阶来推导算法的复杂度是相对简单的。在以后的学习中设计算法时，可以使用此方法来估测算法的优劣。
2. 空间复杂度
空间复杂度是衡量算法运行过程中所占存储空间大小的指标，通常也作为问题规模n的函数，以数量级形式给出。它主要考虑算法的存储量，包括输入数据所占空间、程序本身所占空间和辅助变量所占空间。在分析时，我们通常只关注辅助变量所占空间。如果辅助空间相对于输入数据量来说是常数，那么该算法被认为是原地工作。除非有特殊说明，否则我们通常考虑最坏情况下的空间使用量。
有时候，我们可以用额外的空间来换取时间上的效率。例如，一个判断闰年的算法可能需要逐个输入年份进行判断，这在时间上可能较为复杂。为了提高效率，我们可以使用空间来换取时间，即建立一个预处理的数据结构，如数组或哈希表等。这样通过查找而不是逐个判断的方式来实现闰年的判断。
尽管空间换取时间的方法可以将运算最小化，但在大多数情况下，我们仍主要使用时间复杂度来度量算法的性能。当不加限定地使用“复杂度”这一术语时，通常指的是时间复杂度。