从近期遇到的一道题目出发，我们深入探讨了材中线性回归模型的内容。材在回归方程方面做出了修订，对内容和概念的要求有所提高，这让我们对相关内容有了更深入的理解。
我们来讨论决定系数，也称为判定系数R²。这一概念主要用于分析回归直线方程的拟合程度。当R²的值越大时，说明拟合度越好。具体来说，当从数据集中移除某个点B后，如果样本的相关性增强且R²值也相应增大，这就表明了这一点。
在研究两个变量之间的相关关系时，我们主要从两个角度出发。首先是进行相关分析，即量化变量之间相关的程度。这时，我们会使用样本的相关系数r来进行量化。另一个角度则是回归分析。以广告投入费用和销售额为例，两者之间可能存在线。随着广告投入的增加，销售额也可能呈现上升趋势。销售额的观察结果由多个部分组成，其中一部分是由广告投入的线性函数引起的，另一部分则是由随机因素引起的。
如果两个变量之间呈现出线，那么我们可以通过最小二乘法来求解回归直线方程。这一过程在教材中有详细的证明，通过利用残差平方和最小的方法，我们可以求解出a和b的值。
在这里，我们需要区分观测值和预测值的概念。通过回归方程求得的都是预测值，而观测值与预测值的差即为残差。接下来，我们将分析三个常见的误差平方和。
以广告投入和销售额的关系为例，如果没有广告投入这一变量，我们只能根据销售额作出散点图，并试图找到一条拟合直线。这条直线的预测值将是一个常数，即y的平均值。这时，观测值与平均值之差的平方和被称为总平方差。
当我们引入广告投入这一变量x时，我们就可以用x的变化来模拟y的变化。这时，预测值将不再是y的平均值。为了使观测值和预测值之差e最小化，我们需要使y与^y之差最小化。这种平方和被称为残差平方和。
在高中阶段的考试中，更多涉及到残差平方和的概念。理解残差平方和与回归平方和之间的关系即可应对相关考题。无需深入探究其深层含义。
当SST-SSE这部分在SST中所占的比例较大时，说明引入新变量x后对误差的减少效应更强。这意味着回归方程的拟合度更好。当这个比值接近1时，说明新加入的x大大减少了预测值的误差。而当比值接近于零时，说明新加入的x对误差的消除效应几乎为零，这表示回归方程的拟合程度非常差。
教材中使用了这个比值来衡量变量x对变量y的解释能力，并将其命名为判定系数或可决系数R²。其中R²=SSR/SST。
由此可知，R²越大时残差平方和越小意味着被回归方程解释的部分越大因此拟合度越好。
最后关于可决系数和相关系数之间的关系是R²=r²即可决系数等于相关系数的平方。
虽然考试时通常不会直接要求求解可决系数但可能会涉及到相关系数的求解通过两者之间的关系我们可以轻松地通过r求得可决系数。