在数据科学的海洋中，降维是一项强大的技术，能够帮助我们简化复杂的数据集并提升机器学习模型的稳定性。通过减少特征空间的维度，我们得以获得在统计上可靠的模型。降维主要有两种实现途径：特征选择和特征变换。
特征选择侧重于选择那些对数据影响最大的特征，而移除那些共性或重要性较低的特征。这样，我们能够精确地聚焦于那些真正影响数据的主要因素。
特征转换或称特征提取则致力于将高维数据投影到低维空间。这一过程中，我们利用各种技术手段，如主成分分析（PCA）、矩阵分解、自动编码器（Autoencoders）、t-Sne、UMAP等。
本文将重点探讨主成分分析与自动编码器这两种方法。我们将详细剖析这两种方法的优劣，并通过实际案例来进一步阐释其应用。
主成分分析是一种无监督的技术，它将原始数据投影到若干个高方差的方向上，这些方向彼此正交，从而使得投影后的数据相关性极低。其操作步骤如下：
步骤一：计算一个大小为nn的相关矩阵。
步骤二：计算该矩阵的特征向量和特征值。
步骤三：选取特征值较高的k个特征向量作为主方向，其中k小于或等于n。
步骤四：将原始数据集投影到这些主方向上，从而得到低维度的数据。
自动编码器则是一种无监督的人工网络。它通过压缩数据到较低维度，然后重新构建原始数据，来消除重要特征上的噪声和冗余。编码器负责将高维数据编码为低维表示，而则尝试从低维数据中重建原始高维数据。
自动编码器在数据处理上具有更大的灵活性。与PCA的线性变换相比，自动编码器既可以执行线性变换，也能执行非线性变换。这使得它能够更好地捕捉数据的复杂模式和像素值的突然变化。尽管这需要更多的计算资源和时间，但在处理大型和复杂的数据集时，自动编码器通常表现出更强的性能。
从具体细节来看，PCA将数据投影到若干正交的方向上，而自动编码器降维后的数据维度并不一定正交。PCA更适用于数据量较小的场景，而自动编码器则可以应用于更广泛的数据集。PCA的唯一超参数是正交向量的数量，而自动编码器的超参数则涉及网络的结构参数。单层的、采用线性激活函数的自动编码器与PCA在性能上相近，但多层非线性激活函数的自动编码器（深度自动编码器）能够展现出更好的性能。