什么是离散数学
离散数学是研究数学结构的一门学科。其研究对象具有不同的独立值，不依赖于连续性的概念。它也被称为决策数学或有限数学。
离散数学主要探究的是可数集，比如形式语言、整数、有限图等。在计算机科学领域的广泛应用使其在近年来备受关注。它涉及编程语言、软件开发、密码学、算法等多个方面。离散数学包含了如集合论、图论、逻辑学、排列和组合等重要概念。
离散数学的分类
集合理论：研究集合的学科，集合是一组对象的集结。数字或对象的集合通常用大括号{}表示，例如前4个偶数的集合{2, 4, 6, 8}。
图论：研究图的学科，图是一种用于表示对象之间关系的数学结构。
逻辑学：在数学中，逻辑学研究有效推理的过程。逻辑门包括与门(∧)、非门(~)和或门(∨)。
排列：指的是在给定数量的集合中，按照特定顺序取出一部分或全部的集合的所有可能排列。
组合：在同一时间选择一些或全部的对象，选择的顺序对组合没有影响。
数列与级数
数列：根据一定的规则，一组按一定顺序排列的数字被称为数列。
级数：是数列各项的和，将所有项加在一起得到级数的和。
离散数学的应用
- 逻辑学在数学证明研究中具有重要作用，尤其在自控原理证明和软件常规验证中得到了广泛应用。
- 部分有序集和其他关系集在各种领域中具有广泛应用。
- 数论在密码学和密码分析中发挥着关键作用。
离散数学的实例
示例：确定四个男孩如何分配三个奖品——一等奖、二等奖和三等奖。
i)每个男孩只能获得一个奖品。
ii)一个男孩可以获得任意数量的奖品。
解决方案：这是一个排列问题。
对于i)情况，一等奖有四种颁发方式，由于每人只能获得一种奖项，其余两个奖品分别有三种和两种分发方式。总的方法数为4 × 3 × 2 = 24。
对于ii)情况，由于没有限制，每个奖项都可以以四种方式颁发。每个人都有四种分发奖品的方法，那么三个人的总分发方法数为64。