引言：古希腊毕达哥拉斯学派在探究音调与弦长比例之间关系时，发现了弦长变化与音调变化之间的有趣规律。当一根长度为12的弦缩短时，其不同长度的弦与音调的关系背后蕴数学中平均数的分类概念。
平均数的分类
在日常生活和数学统计中，我们常常接触到平均数的概念，而平均数主要分为四类：算术平均数、几何平均数、调和平均数和加权平均数。下面我们将详细解释这些分类。
1. 算术平均数与加权平均数
算术平均数，也被称为均值，是统计学中最为常见的指标之一。其定义是：对于一组数据x1、x2、x3…xn，这组数据的算术平均值由公式给出：
x拔 = (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n。
例如，在学期末考试中，如果某学生的数学得分为84，语文得分为92，英语得分为91，那么他的算术平均数就是 (84 + 92 + 91) / 3 = 89。
进一步地，加权平均数是一种特殊的算术平均数。它考虑了每个数据项的权重。当一组数据x1、x2、x3…xn对应有各自的权重y1、y2、y3…yk时（其中y1 + y2 + y3 + … + yk = n），加权平均数由公式给出：(x1y1 + x2y2 + … + xkyk) / n。
在射箭的例子中，7、8、9、10这四个数可以代表不同环数。根据它们的权重或频率不同，我们能够计算得到加权平均数。
2. 几何平均数
几何平均数的定义是：对于一组正数数据x1、x2、x3…xn，其几何平均值为 (x1 × x2 × x3 × … × xn)^(1/n)。几何平均数主要用于处理比率、指数、利率和发展速度等数据的平均。
例如，当知道某地储蓄年利率（按复利计算）在不同年数的持续情况和各自的值时，可以计算多年内的平均储蓄年利率。
3. 调和平均数
调和平均数又被称为倒数平均数。其计算公式为：对于一组数x1、x2、x3…xn，调和平均数等于各项取倒数后的算术平均数的倒数。调和平均数在速度与距离相等时的平均速度计算、电路中两个电阻R1和R2并联的等效电阻等场景中有所应用。
回到弦长的例子，不同长度的弦如12、9、8和6对应着不同的音调。其中9是12和6的算术平均数，但并不是他们之间的几何或调和关系。而8则是通过调和关系计算出的特殊值。
4. 三种平均数之间的关系
在比较算术平均数（S）、几何平均数（J）和调和平均数（T）时，有S ≥ J ≥ T的关系。这个关系只在所有数值都相等时才成立等号。