今日我们将探讨一组正数之间的平均数关系。
明确地讲，在接下来的讨论中，我们涉及的所有数均为正数。
关于n个正数的平均数定义
对于n个正数a1，a2，…，an，我们定义了以下几种平均数：
算术平均数（A）
A = (a1 + a2 + … + an) ÷ n
几何平均数（G）
G = √[a1 × a2 × … × an]
调和平均数（H）
H = n ÷ (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)
平方平均数（R）
R = √[(a1^2 + a2^2 + … + an^2) ÷ n]
为了更好地理解这些平均数的关系，我们将简化讨论，从两个正数开始。
对于两个正数a和b的平均数公式
A = (a + b) ÷ 2
G = √(a × b)
H = 2 ÷ (1/a + 1/b)
R = √[(a^2 + b^2) ÷ 2]
我们来探讨算术平均数与几何平均数的大小关系。
(√a - √b)² = a - 2√(ab) + b ≥ 0
由此得出 a + b ≥ 2√(ab)
(a + b) ÷ 2 ≥ √(ab)
算术平均数不小于几何平均数。
进一步地，我们还可以推导出其他的关系。
接下来，我们将讨论算术平均数与平方平均数的关系。
(a - b)² = a² - 2ab + b² ≥ 0
(a² + b²) ≥ 2ab
(a² + b²) ≥ (a + b)² ÷ 2
(a² + b²)的一半 不小于 (a + b)的平方的一半。
平方平均数不小于算术平均数。
我们来探究几何平均数与调和平均数的关系。
两数的调和平均数的公式值为两数乘积的倒数和的倒数。
(使用先前的不等式结果，我们知道这个值是小于几何平均数的)
综合以上结论，我们可以得到一个一般性的顺序：
调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。
这一结论可以从两个正数推广到n个正数，虽然详细的证明较为复杂，但大家只需记住这个结论即可。