重议基本不等式的几何推导
我们来看看一个数学问题。例说，设a、b为正实数，接下来我们将通过几何图形来推导一个重要的基本不等式。
一、问题引出
基本不等式在数学中有着广泛的应用。对此，我们可以借助半圆的性质及弦高定理的几何性质来进行证明。（图示）
二、图形解析
图示展示了一个丰富的几何世界。半圆所对的弦AB是⊙O的直径，O为圆心。半径OD与圆周交于D点，从D点作垂线CD⊥AB，垂足为C。
由于直径所对的圆周角均为直角，因此三角形ABD是一个直角三角形，CD为该直角三角形的斜边高。在图上，A、B、C、D四个点共同构成了三个彼此相似的直角三角形。
具体地，图中AC=a，CB=b，半径OD的长度为½(a+b)，而CD的长度则为√ab。
三、推导过程
为何CD等于√ab呢？这可以通过相似三角形的对应线段比例关系来解释。连接AD和BD，即可得到三个相似的直角三角形。于是有：
AC与CD的比例等于CD与CB的比例，即AC²=CD×CB（CD作为比例中项）。CD的长度为√ab。
从图中可以直观地看出，基本不等式的左边是半径，代表直角三角形的斜边，而基本不等式的右边是直角边，显然直边长度小于斜边长度。那么，何时基本不等式取等号呢？当半径OD旋转至与直径AB垂直时，此时垂足C与圆心O重合，a=b，此时基本不等式取等号。基本不等式的意义在于算术平均数不小于几何平均数。
四、其他性质探讨
在直角三角形ABD中，关于高的数量关系有着特定的公式。例如，当用h表示斜边上的高CD时，可以用一个公式来表达这高的关系。
关于正弦函数的定义和性质也有着深入的研究。如设直径为1的圆中，弦所对的圆周角的正弦值等于该弦的长度。这个定义是基于圆内接四边形的内对角互补的原则。我们可以根据这个定义来计算正弦值，或者通过其他方法如弦长来计算正弦值。