本文约略呈现主成分分析（PCA）的基本数学原理及工作原理。
概述
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据分析方法。通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。本文将直观和易懂地叙述PCA的基本数学原理，不引入严格的数学推导。
一、降维概述
1. 维度的基本概念
对于数组和序列（Series）来说，维度是指其形状（shape），即数据的结构。一维数组指无行列之分的数组，其数据个数即为其维度。而表形式的二维数组，其维度则指的是样本数和特征数。在数据表中，每一表都可以视为一个特征矩阵或DataFrame，它们的维度固定为样本的数量和特征的数量。
1.2 图像中的维度
对于图像而言，其维度即为其特征向量的数量。特征向量可以理解为坐标轴，每个特征向量定义一条直线或一个平面。例如，一个二维图像可以被视为两个特征向量的组合，即一个直角坐标系。
1.3 降维解释
降维算法的目标是降低特征矩阵中特征的数量，使算法运算更快，效果更好。降维还有助于数据可视化。三维及以下的特征矩阵是可以被可视化的，有助于我们快速理解数据的分布，而三维以上的特征矩阵则比较难可视化。
二、PCA概述
2.1 PCA入门
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，用于提取数据的主要特征分量。在降维过程中，我们会减少特征的数量，这意味着删除数据，但减少的特征数量不代表丢失信息量，我们希望在降维的过程中尽可能保留更多的信息。
2.2 PCA降维过程
PCA的降维过程主要包括五个步骤：输入原数据、决定降维后的特征数量、通过某种变化找出新的特征向量、将原始数据映新的空间、选取信息量最大的特征。在这个过程中，我们会使用到矩阵分解和协方差矩阵等概念。
2.3 PCA算法数学步骤
PCA的算法步骤主要包括：将原始数据按列组成矩阵、对矩阵的每一行进行零均值化、求出协方差矩阵、求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量、将特征向量按对应特征值大小排列组成矩阵Q、用Q进行降维。其中，协方差矩阵的特征值分解是PCA的核心问题。
2.4 选择主成分个数
在PCA降维过程中，我们需要选择保留的主成分个数。这个选择基于不同主成分可保留的方差百分比。我们会保留那些可以解释大部分方差的成分，以达到降维同时保留尽可能多信息的目的。
2.5 sklearn中参数的解释
在sklearn库中，PCA算法的参数包括n_components和svd_solver等。n_components参数用于指定降维后的维度，即需要保留的特征数量。而svd_solver参数则与奇异值分解有关，用于指定SVD算法的求解方式。
三、总结
PCA是一种常用的数据分析方法，通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，用于高维数据的降维和可视化。在PCA的降维过程中，我们需要注意选择合适的主成分个数，以保留尽可能多的信息。我们还需要了解相关的数学概念和算法原理，如矩阵分解和协方差矩阵等。
希望本文能帮助你更好地理解PCA的基本原理和工作流程。
在数据处理和机器学习领域，我们经常需要利用不同的算法和工具来处理和优化数据。其中，PCA（主成分分析）与SVD（奇异值分解）是两种涉及大量矩阵计算的模型，它们都需要经过复杂的运算过程。但值得注意的是，SVD算法在矩阵分解方面有着独特的优势。
相较于PCA，SVD算法在处理过程中可以跳过计算协方差矩阵等繁琐步骤，直接求出新特征空间和降维后的特征矩阵。这种直接的求法使得SVD在矩阵分解中显得更为高效和简洁。
虽然两者都遵循相似的分解流程，但SVD以其独特的方法快速达成目标。SVD的信息量衡量指标相对复杂，"奇异值"的理解相较于"方差"更为困难。为了更好地应用这一算法，sklearn将其降维流程分为两部分。
第一部分是特征空间的计算，由SVD完成。虽然矩阵U和Σ在计算过程中被得出，但它们并不会被实际应用。第二部分则是数据的映射和新特征矩阵的求解，这由PCA来完成。
具体来说，PCA中的"Y = QX"的Q部分被SVD的特性所替代，从而利用SVD的性质减少了计算量，同时保持了信息量的评估指标——方差的目的。整个流程的示意图如“图5 SVD矩阵分解流程”所示。
接下来，我们进一步探讨参数svd_solver的作用。这个参数在降维过程中起到控制矩阵分解细节的作用，提供了四种模式供用户选择："auto"、"full"、"arpack"和"randomized"，其中默认设置为"auto"。
在sklearn的实现中，我们注意到一个重要的属性components_。通过SVD和PCA的协作，我们能够在矩阵分解过程中不使用PCA本身的特征值分解，而是采用奇异值分解来进一步简化计算过程。尽管矩阵U和Σ在计算过程中被生成，但它们并不会被实际使用或调用，因此在某种程度上可以被视为“遗弃”的数据。
奇异值分解的关键在于追求效率和效果之间的平衡。只要我们掌握了必要的参数和条件，就能够计算出降维后的特征矩阵。在transform()过程完成后，fit()中奇异值分解的结果会被保存在components_属性中，供用户调用和查看。
结论：PCA不仅是一种降维技术，更是一种特征创造的方法。它通过压缩已存在的特征来生成新的特征矩阵，这些新特征并非原数据中的直接特征，而是通过特定方式组合而成的。在新的特征矩阵生成之前，我们无法确切知道PCA是如何创建这些新特征向量的。这些新特征虽然携带了原始数据的信息，但已经不再代表原数据中的具体含义。对于那些不要求解释新特征与标签之间关系的模型（如线性回归等），PCA可能不是最佳选择。在这些情况下，特征选择或其他方法可能更为合适。