在开始探索向量之前，我们先来简要了解下标量。标量作为一种简单的数学实体，表现为一个只具有数值大小而无视方向的概念（尽管有时会标示正负）。例如，温度和重量等物理量就可以用标量来表示。
接下来，我们将要探讨的是向量。向量是由多个数字组成的序列，这些数字按照特定的次序排列，构成了一个向量。向量有两种主要的描述方式：
- 它可以被看作是空间中一个有序的点，数字的次序决定了点在空间中的具置；
- 它也可以被描述为一个具有大小和方向的数量。比如，一辆自动驾驶汽车的速度指向正东方向，这时，向量就表现为一个从坐标原点指向终点（由有序数字确定）的矢量。
例如，我们考虑下列向量。设有一个非空集合，这个集合的元素属于实数域（在此我们仅讨论实数）。如果对于任意两个元素，总存在一个唯一的元素与之相对应，那么我们称这种关系为加法，记作。同样地，对于任意实数与集合中的元素相加，总存在一个唯一的元素结果，我们称之为乘积，记作，并且加法和乘积两种运算需满足以下八条规则（以A和B为例）：
- （规则内容）；
- ……
在这样的实数域上，我们称其为一个线性空间或向量空间，空间中的元素被称为向量（实数域上的）。在这个线性空间里，加法和数乘两种运算必须保持封闭。
在线性空间内，如果存在一组特定的元素，它们满足：线性无关且能由其他元素线性表示，那么这组元素被称为线性空间的一组基，而元素的数量则被称为线性空间的维数。
由于基的特殊性，线性空间中的任意元素都可以用一组有序的数字来表示。这组数字被称为元素在基下的坐标。实际上，这组坐标就是我们最初提到的向量。
以三维线性空间为例，任何三个线性无关的向量都可以构成一组基，每组基都对应着一个坐标系。需要强调的是，“同一个向量”在不同的基下会有不同的坐标表示，即在不同的坐标系下的描述方式不同。
这种观念在数学和物理中非常关键。理解这一点后，我们就能更好地把握向量在不同坐标系下的变换关系，以及它们在各种实际问题中的应用。