您可能会被问及为何要写教科书以及您的书与其他的不同之处。对于第一个问题，回答很直接：出于对现有教科书的某些不足之处的不满。您想通过自己的工作，提供一个更全面、更深入的视角。
关于主成分分析（PCA）的介绍，我将尝试将“什么”、“何时”和“如何”的问题与一些有助于进一步解释该主题的资源相结合。具体来说，我想解释PCA的原理、背后的数学原理、一些实际的应用场景以及它可能存在的一些潜在缺点。
在技术层面上，PCA是一种涉及矩阵运算和线性代数的技术。熟悉如矩阵乘法、矩阵转置、矩阵逆、矩阵分解、特征向量/特征值等概念，将有助于更好地理解PCA。我在整篇文章中都会这些主题的插图链接，但希望这些链接主要是为了辅助理解，而不是必需的阅读内容。
比如，假设我们要预测2017年的国内生产总值（GDP）。我们手头有大量的可用信息：2017年第一季度的GDP、2016年的全年GDP，以及从过去几年开始的各种经济指标。我们的目标是通过这些信息来预测未来的GDP。尽管要考虑的变量很多，但这就是表面问题。问题的核心在于：我们如何有效地处理这些变量？
我们知道，每个变量之间都存在一定的关系。如果我们有太多的变量，这可能会使我们无法准确地找出哪个变量对预测结果的影响最大。这也就是我们说的“过多变量问题”。为了解决这个问题，我们可能需要“减少特征空间的维数”。通过减少维数，我们可以减少考虑的变量之间的关系，从而降低过拟合的可能性。
这里所说的“降维”，主要是通过两种技术来实现：功能消除和特征提取。在PCA中，我们主要是通过特征提取的方法来减少特征空间的维度。也就是说，我们通过组合原始的特征变量来创建新的特征变量，然后根据新特征变量对因变量的预测程度来进行排序。
例如，如果我们有十个自变量，在特征提取后，我们会创建十个“新”自变量，每个“新”自变量是原始自变量的组合。但我们会以特定的方式创建这些新的自变量，并根据它们对我们因变量的预测程度对这些新变量进行排序。这就是PCA的核心思想。
在讨论PCA时，您可能会问到如何确定要保留的特征数量。这里有三种常见的方法：任意选择、计算每个特征解释的方差比例以及通过“碎石图”来确定“肘部”。这些都是我们在应用PCA时需要做的决策。
完成PCA后，我们得到了一组转换后的数据，这组数据的主成分包含了原始数据的大部分信息。我们可以使用这组主成分来进行进一步的分析，如线性回归。这就是PCA的一种常见应用：主成分回归。
还有一些PCA的变体，如内核PCA等，这些都是值得我们深入探讨的话题。