话题：数学 微积分 场论
小石头/编
函数
函数是实数ℝ上的映射，记为 f(x): ℝ → ℝ。在更广阔的定义域中，当我们将函数的定义域改为向量ℝᵐ，就变成了多元函数，记为 f: ℝᵐ → ℝ；而当函数的陪域改为向量ℝⁿ，就变成了向量函数，记为 f: ℝ → ℝⁿ。
多元向量函数——场
常常被称为场的多元向量函数，记为 F: ℝᵐ → ℝⁿ。正文中所有向量或向量函数一律使用粗体表示，以示区分。
低维度的向量在物理学中有广泛的应用，它们常被称为矢量。而场的概念最早也源于物理。《矢量分析与场论》正是关于三维矢量空间ℝ³中微积分应用的数学课目。在这门课中，梯度、旋度和散度是最重要的概念。
梯度
导数表示函数在其意一点x处的变化率。对于多元函数f(x, y, z)在其意一点p=(x, y, z)处有无数个不同的变化率。我们可以分别取X、Y、Z轴方向的变化率，组成一个向量，称为梯度。梯度表示函数在该点处变化最快的方向和变化率。
环量与环量面密度
在三维场F(x, y, z): ℝ³ → ℝ³中，场沿平面封闭曲线的曲线积分称为环量。环量与曲线所围面积之比为环量面密度。我们可以通过计算不同朝向的环量面密度来了解场的性质。
通量与通量密度
与环量类似，我们也可以用场通过曲面的曲面积分来定义通量。封闭曲面外侧的通量与曲面所围体积之比为通量密度。同样地，我们可以通过计算不同朝向的通量密度来进一步了解场的特性。
结语
接下来，让我们进入本文的另一部分，即副文内容。请您继续阅读，相信您会喜欢这一部分的内容。
副文一： 探讨上同调的概念
副文二： 微分作为线性化的阐释