概率分布是统计学中重要的数学模型，它用于描述随机变量的取值及其对应的概率。下面将详细介绍八种常见的概率分布，包括它们的公式和可视化表示。
一、离散分布
1. 二项分布（Binomial Distribution）
公式：P(X=k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)
二项分布用于描述成功次数为k的试验次数为n的场景。其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）
公式：P(X=k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!
泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积）内事件发生次数的概率。
二、连续分布
3. 均匀分布（Uniform Distribution）
公式：f(x) = 1 / (b-a)，a ≤ x ≤ b
均匀分布描述了所有可能取值等概率出现的情形。
4. 正态分布（Normal Distribution）
公式：f(x) = (1 / (√(2π) × σ)) × e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))
正态分布是最常见的连续概率分布，以均值μ为中心，标准差σ决定其分布的宽度。
5. 指数分布（Exponential Distribution）
指数分布描述了事件发生的时间间隔的概率。
可视化：呈现为一个随时间递减的曲线。
6. 伽玛分布（Gamma Distribution）
伽玛分布广泛用于描述排队理论、寿命测试等领域的等待时间。
可视化：常呈现为右偏的曲线。
7. 贝塔分布（Beta Distribution）
贝塔分布常用于描述比例或比率数据，如市场份额等。
可视化：可呈现左偏、右偏或对称的形状。
8. 卡方分布（Chi-Square Distribution）
卡方分布常用于假设检验和拟合优度检验。
可视化：呈现为右偏的统计曲线。