当大家学习了求极限的方法后,往往会有一些学生采用所谓的“聪明”的方法来尝试解决问题。这些看似巧妙的办法实际上可能是错误的。接下来,老黄将借助一个具体的求极限的例子,与大家探讨求极限时最常见的三种错误思路。
考虑极限表达式:lim(x→0)(xe^x-ln(1+x))/x^2。
错误的解题思路一:直接拆分分子。有些人可能会尝试将原式拆分为两个分式的差,即lim(x→0) (xe^x-ln(1+x))/x^2 = lim(x→0) (e^x/x - ln(1+x)/x^2)。这种拆分并不总是适用的。拆分分式必须在两个分式极限都存在的情况下才可进行。对于这道题,如果拆分后两个极限都不存在,那么拆分结果很可能会出错。即使不出错,这样的做法也并非是合理的。
错误的解题思路二:忽视无穷小量替换的条件。有些人可能会在解题过程中使用“局部等价无穷小替换”,但这种方法并非在任何情况下都适用。其使用条件非常严格,通常只有在因式的情况下才可进行等阶无穷小替换。如果滥用此方法,可能会导致错误的结论。
错误的解题思路三:过早代入自变量。有些学生可能会在求解过程中过早地将自变量代入为0,例如将1/(1+x)写成1。这种方法往往忽略了求极限的完整过程,从而导致结果出错。
虽然上述的错误解法在某些特定情况下可能“巧合”地得出正确答案,但这并不意味着它们是正确的解法。这反而可能导致学生在其他情况下重复犯同样的错误。
那么,如何正确求解这个极限呢?我们来看一个修正后的解法。
正确解法:通过运用洛必达法则(虽然过程稍显繁琐),我们可以逐步求解该极限。在此过程中,我们应避免上述的三种错误思路。最终,我们可以得到该极限的结果为3/2。
求极限时常见的错误解法包括:随意拆分极限、滥用无穷小量替换、过早代入自变量。希望大家在求解极限时,能够避免这些错误,得出正确的结果。