平面几何中动态图形的最值问题，历来是数学爱好者研究的热点。在处理多线段加权和的最值问题时，掌握一定的技巧和运用合适的定理显得尤为重要。其中，“托勒密定理”的应用往往能化繁为简，帮助我们找到解决问题的关键。接下来，让我们通过几个具体的例子来探讨这一定理的魅力。
【例一】在平面直角坐标系中，给定两个定点A、B和一条直线L（L的方程为y=x），点M是位于第三象限的直线L上的动点。我们需要求解的是（3MA－4MO＋5MB）的最小值，并找到此时点M的位置。
【分析】面对此类三线段加权和的最值问题，我们可以先构造一个相应的凸四边形，并应用“托勒密定理”进行求解。在这道题目中，我们需要特别关注负号的影响和处理方法，进而确定关键步骤：
【例二】假设等腰直角三角形ABC及其外接圆⊙O已给出，其中斜边AB的长度为4，而点D位于劣弧BC上。我们要求的是（AD＋BD＋CD）的最大值。
【分析】此题中，我们首先使用“托勒密定理”来建立三线段之间的关系，将其转化为两线段之间的等式关系。接着，我们可以构造相应的“定角定弦”来求解线段和的最值。
【例三】在三角形ABC中，已知AB的长度为4√6，∠ABC和∠ACB的度数分别为45º和60º，且存在一点D在三角形内与三边AB、AC、BC相连接。我们需要求的是（5CD＋7AD＋8BD）的最小值。
【分析】针对这个问题，我们可以根据“8、7、5”这一特定比例来构造三角形及其外接圆。然后利用“托勒密定理”得到相应线段间的关系式。结合已知的图形信息来求解三线段加权和的最小值。