机器之心编译
量子杂志
我们都知道，实数分为有理数和无理数，它们的定义也都很明确。但令人惊讶的是，其实很难证明一个数究竟能否写成分数形式。而现在，这个问题有了一种广泛适用的新方法。
这种新方法有三位提出者，分别是芝加哥大学的数论和朗兰兹纲领数学教授Frank Calegari、加州理工学院数学教授Vesselin Dimitrov、加州大学伯克利分校助理教授及2022年拉马努金奖得主唐云清。
唐云清，加州大学伯克利分校助理教授，本科毕业于北京大学数学科学学院，后在哈佛大学取得数学博士学位。唐云清是首位获拉马努金奖的华人女数学家。
在数学历史的长河中，有一个故事引人入胜。1978年6月，在法国马赛举办的一场大型数学会议上，数学家罗杰·阿培里（Roger Apéry）展示了一个证明，证明数学中最著名的数之一——zeta的3次方（ζ(3)），是数学家所说的“无理数”。这个数当时引起了广泛的怀疑和讨论。
与会者对阿培里的证明持怀疑态度。黎曼zeta函数（Riemann zeta function）是数论中最核心的函数之一，数学家们几个世纪以来一直在试图证明ζ(3)的无理性。当时61岁的阿培里并不被广泛认为是顶尖数学家。他有着法国乡下人的口音，还有着爱挑衅的名声。许多与会者认为阿培里是在玩一个精心策划的恶作剧。
至少有一个人从这场混乱的演讲中看到了真相，即现在波尔多大学的亨利·科恩（Henri Cohen）。科恩立即着手充实阿培里论证的细节。在几个月时间内，他与其他几位数学家一起完成了证明。
当罗杰·阿培里宣布他已经证明了ζ(3)的无理性时，数学家们虽然嗤之以鼻，但他的证明仍然被接受。无理数远比有理数多：如果你在数轴上随机选择一个点，它几乎必定是无理数。即使数学研究现的数字从定义上看并非随机，但数学家们仍然认为它们中的大多数应该是无理数。
尽管数学家们成功地证明了某些数的这个基本事实，比如π和e，但对于大多数其他数来说，证明仍然极其困难。荷兰拉德堡德大学的Wadim Zudilin说：“当时每个人都相信只需一两年时间，就能证明每个zeta值都是无理数。”但预期的突破并未出现。
但现在，Calegari、Dimitrov和唐云清做到了！他们成功展示了一个将阿培里的方法拓展为更强大方法的过程。使用这种方法，他们证明了无限多个类似zeta的值的无理性。
他们的发现被巴黎-萨克雷大学的Jean-Benoît Bost称为“数论领域的一个明显突破”。不仅他们的结果令人兴奋，就连他们的研究方法也激发了更多关于模形式和朗兰兹纲领等更深层次数学领域的探索。
具体来说，几乎每个无理性的证明都遵循着类似的思路：通过找到一系列足够快的分数序列来排除所有可能的分母。这种方法被广泛用于证明各种数学常数（如e和π）的无理性。但过去这种方法对于一些特殊的值却并不适用。但现在，Calegari、Dimitrov和唐云清的方法突破了这一限制。他们不仅证明了ζ(3)的无理性，还证明了其他一系列数的无理性。
多伦多大学的Daniel Litt说：“希望我们很快就会看到关于无理性证明的淘金热。”
欧拉错过的证明
自古以来，人们一直在问哪些数字是有理数。两千五百年前，毕达哥拉斯学派坚信每个数都是两个整数的比值。当他们学派的一名成员证明2的平方根不是有理数时，他们了。作为惩罚，这位冒犯者被淹死了。
自从数学发现的最早时期以来，人们就一直在问哪些数字是有理数。对于特殊的数，它们不断从数学探究的所有领域涌现出来。有些数，如π，出现在你计算面积和体积时。其他的则与特定函数有关——例如，e是自然对数的底数。
数学家们采用奥卡姆剃刀观点：除非有令人信服的理由说明一个数是有理数，否则它多半不是。毕竟，数学家们早就知道大多数数都是无理数。具体数的无理性证明却很少有具体案例。几个世纪以来，只有少数几个数的无理性被证明。在18世纪，数学巨人欧拉证明了e和某些偶数zeta值的无理性。但即使在现在，许多简单数的状态仍然是个谜。