在数学领域,我们常常使用不同的方法来展示变量间的函数关系,其中解析法、列表法和图象法各具特色。虽然解析法在理论研究上占据主要地位,但结合应用列表法和图象法也是十分常见的。特别是,通过函数的图象,我们可以直观地理解函数的性质。
接下来,我们以实例来演示如何从已知的解析法表示的函数关系中绘制其图象。
例一:绘制函数 y = x² 的图象。
【解】第一步,选取 x 的一些值,计算对应的函数值,并列入下表(表格略)。第二步,在直角坐标系中,以每一对实数作为点的坐标(x, y),画出各点。第三步,按照自变量从小到大的顺序,用一条平滑的线将各点连接起来。这样就得到了该函数关系的近似图象。
注意:这条图象被称为抛物线。
例二:绘制函数 y=6/x 的图象。
【解】首先列表(表格略),然后根据表中的实数值在坐标系中画出对应的点,最后用平滑的线将点按自变量大小顺序连接起来。注意,因为当 x=0 时,y 无意义,所以图象不能与 y 轴相交。
这种方法被称为描点法。虽然用描点法画出的函数图象一般是近似的,但当我们在图中取的点越多时,图象的精确度就越高。
注意:在描点法中,连接各点的线必须是平滑的,不能是折线。
练习:使用描点法作以下函数的图象(图略):
(1) y = 2x + 3 (x 取 ±3,±2,±1,0);
(2) y = ⅛x³ (x 取 0,±1,±2,±3,±4);
……(其他函数略)
……(其他内容略)
在探讨数学问题时,常量与变量扮演着重要的角色。
常量是在研究问题过程中始终取同一数值的量。而变量则可以取不同数值。
函数是两个变量间的一种特殊关系,当一个变量变化时,另一个变量会有一个确定的值与之对应。
函数的定义域、值域、解析法、列表法和图象法等表示法为我们理解和研究函数提供了多种视角。
要掌握求函数在特定自变量下的函数值的方法。这不仅是理解函数的基础,也是解决实际问题的重要技能。
我们期待着下一期的内容——第三章一次函数。在那里,我们将学习更多关于函数的知识。
感谢大家的阅读,希望这些内容能对你有所帮助。新的一年里,愿你学业进步,万事如意!
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第三章一次函数待续……