PCA主成分分析：降维算法的深入解析
大家好，今天我们将一起探讨一种常用的降维算法——PCA（Principal Component Analysis）主成分分析。
PCA，作为降维算法的代表，其核心思想是通过将高维数据投影到低维空间中，以实现数据的降维处理。
在降维过程中，PCA算法确保所投影的维度上，原数据的信息量最大化。通过PCA降维，我们可以在保留更多原始数据特性的使用较少的数据维度。
为了达到这一降维目的，PCA主要基于两种优化思路：最大可分性和最近重构性。
最大可分性指的是将样本投影到低维超平面后，样本点能够尽可能地分开。例如，在平面上将数据投影到某一直线上，我们希望这条直线能够使样本点分布得更加分散。
而最近重构性则是指样本到所投影的低维超平面的距离应尽可能小。这可以通过比较样本到不同直线的距离来衡量。
实际上，这两种思路最终都可以推导出相同的目标函数，从而实现PCA降维算法。
接下来，我们将通过一个具体的例子来演示PCA算法是如何找出样本的主成分并实现特征降维的。
假设我们在平面上有6个样本，每个样本具有x1和x2两个特征。
我们需要计算这两个特征的平均值，并将其标记为红色叉子。
然后，根据这些平均值，我们可以画出蓝色叉子，代表6个样本的中心位置。
为了简化后续的PCA降维算法推导过程，我们将这些样本和中心位置一起向坐标轴的原点移动，使蓝色叉子与坐标轴原点重合。这一过程被称为去中心化。
去中心化后，我们思考一个问题：如果只用一个维度来描述样本的分布状况，应该如何选择这个维度呢？
这个维度实际上就是一条直线。我们可以通过将样本投影到这条直线上，并提取出投影点来描述样本中的成分。
在投影过程中，我们会发现当直线旋转时，样本到直线的距离以及投影点到原点的距离会随之变化。为了更好地描述样本的分布情况，我们希望找到一条使得样本到直线的距离最小且投影点到原点的距离最大的直线。
根据数学原理，我们知道样本到直线的距离最小和投影点到原点的距离最大这两种优化方式是等价的。我们可以通过优化投影点到原点的距离最大来实现PCA降维。
具体来说，我们求出各个样本投影到直线上的点（即投影点），并计算这些点到原点的距离。然后求出这些距离的平方和，并找出使这个平方和最大的直线的参数。这条直线就被称为主成分1（PC1）。
观察PC1的斜率，我们可以了解到哪个特征对样本的分布影响更大。例如，如果PC1的斜率表示x1变化4个单位时x2变化1个单位，那么我们可以说x1对特征的分布影响更大。
在求出主成分1后，我们还可以继续求出主成分2（PC2），它是描述样本分布的另一个维度。为了使PC2与PC1完全独立，我们需要再找一条垂直于PC1的直线来描述样本。
最终，我们将样本在主成分1和主成分2上的投影都标记出来，并旋转主成分1到水平位置。这样，我们就完成了PCA主成分分析。
通过PCA主成分分析，我们可以将高维数据降维到低维空间中，从而更好地理解和分析数据。总结来说，在N维空间中的样本可以分解出N个主成分，我们通过优先选择方差最大的主成分来实现降维目标。