在电子信号处理的世界里，设计IIR（无限冲击响应）滤波器是一个核心的步骤。我们常常采用一种常见的方法，那就是从已知的模拟滤波器系统函数出发，去设计一个对应的数字滤波器系统函数。这一过程，本质上就是在构建s域（Laplace变换）到z域（z变换）之间的映射关系。以下是主要的三种映射策略。
第一种是后向差分法。该方法通过特定的数学变换，将模拟系统的响应特性准确地映数字系统中。
冲激响应不变法。这种方法在转换过程中，对模拟系统的冲激响应函数进行时域采样，并在频域上对模拟系统的频率响应函数进行周期延拓。这看似简单的步骤背后，其实蕴含了深奥的数学原理。
还有双线性变换法。这种方法也有其独特的s域与z域的变量映射关系，通过特定的变量替换，可以得到数字系统函数表达式。
以一阶低通滤波器为例，本文将详细对比这三种映射方法的特点。从模拟系统出发，设定一阶低通滤波器的截止角频率，我们可以推导出其系统函数的表达式。进一步地，通过不同的映射方法，我们可以得到数字系统函数的表达式及其与s域的对应关系。
在数学原理的指导下，冲激响应不变法在时域和频域之间的转换，使得最终的数字系统函数表达式需要乘以采样时间间隔。这背后隐藏的频谱混叠问题，也是我们在后续的仿真计算中需要重点关注的内容。
当采用双线性变换法时，其s域到z域的变量映射关系将带来不同的数字系统函数表达式。通过具体的实例，我们可以观察到在不同采样频率、截止频率下，系统的幅频响应曲线和相频响应曲线的变化。特别是当截止频率越高时，由于频谱混叠问题，数字系统函数的幅频曲线与模拟系统函数的幅频曲线的位置偏移会更加明显。