题目所给的图形是一个矩形ABCD，其中角BAD的平分线交BC于点E，并与DC的延长线相交于点F。通过几何分析和逻辑推理，我们可以验证下述结论的正确性。
观察结论①，由于AE平分角BAD且三角形ABE是等腰直角三角形，我们可以得出AB等于BE，同时AB也等于CD，因此结论①是正确的。
接下来看结论②，关于角DGF的度数。通过几何图形的分析和计算，我们可以发现角DGF并不等于135°，因此结论②是错误的。
再来看结论③，涉及到角ABG和角ADG的和。通过角度的计算和图形的分析，我们可以得出这两个角的和确实等于180°，因此结论③是正确的。
最后看结论④，关于两个三角形的面积关系。通过复杂的计算和图形的分析，我们可以发现结论④也是正确的。
正确的选项是C：①③④。
具体的分析过程如下：
一、结论①的分析：由于AE平分角BAD，且三角形ABE是等腰直角三角形，所以AB等于BE，同时AB也等于CD，因此结论①正确。
二、结论②的分析：通过作图并计算角度，我们发现角DGF并不等于135°，所以结论②错误。
三、结论③的分析：通过计算角度的和，我们可以发现角ABG和角ADG的和确实为180°，因此结论③正确。
四、结论④的分析：通过复杂的计算和图形的分析，我们可以发现3倍的小三角形BDG的面积确实等于13倍的小三角形DGF的面积，所以结论④正确。