当我们回顾函数概念的发展历程，不得不提的是它与几何的紧密关联。在17世纪，函数被视为曲线的研究对象，这也为其后来被称为几何起源的原因。各类函数通过不同类型的曲线引入，例如笛卡尔区分了几何曲线和机械曲线，从而引出了代数函数和超越函数的区别。可以说，从函数的诞生到发展应用，函数与几何始终紧密相连。
这种紧密关联的核心在于函数的图像表示。通过它，我们可以建立几何性质和函数性质之间的联系。例如，曲线的上升与下降对应函数的增与减。沿着这一思路，我们再来探讨一种函数图像特征——凸与凹。
考虑一个二次函数的图像（图1），在图像意选取两个点连成一条线段。你会发现，无论如何选择这两个点，这条线段始终在相应的两点所连的函数图像的上方。这类具有“凸出”特征的函数被称为凸函数，其图像称为凸曲线。凸函数包括上凸函数和下凸函数。从几何角度看，下凸曲线的任意一段弧都不在这段弧所对的弦的上方；上凸曲线的任意一段弧都不在这段弧所对的弦的下方。
作为数学概念，凸函数不仅有图像特征，还需要有严格的定义。具体来说，对于定义在某区间I上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2都有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2（对于下凸函数），那么它就是下凸函数。相应的，如果满足相反的不等式关系则为上凸函数。
图2中展示了下凸函数的常见例子——指数函数，而图3则展示了上凸函数的例子——对数函数。通过观察图像意两点的连线与函数图像的交点，我们可以直观地理解这些不等式关系的含义。这些定义正是用数学语言描述了弦意一点都在曲线上方或下方的几何直观现象，体现了数学定义的严谨性与几何直观的一致性。
在我们熟悉的函数中，幂函数也是一个很好的例子。当α>1时，它是下凸函数；当0<α<1时，它是上凸函数。接下来我们可以具体看看几个幂函数的图像来加深理解。根据下凸函数的定义，我们还可以推导出二次函数的一些性质并导出著名的不等式。
判断一个函数是否为凸函数有三种常见方法：一是通过定义来判断；二是利用微积分的方法；三是通过信息技术绘制函数的图像进行观察。这些方法各有优劣，可以根据具体情况选择合适的方法。凸函数在高等数学及数学竞赛中有着广泛的应用，是刻画函数变化规律的重要性质之一。除了用于推导不等式外，还可以利用函数的性质绘制函数图像来更好地理解和分析函数的性质。比如一个普通的四次函数的图像看似单调递减没有什么特别之处（如图6），但如果结合其凹凸性进行分析就会发现其变化规律并不完全一致在AB段是上凸的而在CD段是下凸的通过对函数的单调性和凹凸性的分析我们可以更好地认识和理解这个函数。
最后值得一提的是数学的魅力在于其内在的统一美函数作为数学概念不仅仅是单一的工具更是一种系统化解决问题的方法我们掌握的函数性质越多便可以从中获得更深入的洞见并能够更有效地应用到实际问题中去从函数的几何特征中我们可以了解到更多的性质而从这些性质中又可以进一步了解和研究各种曲线这展现了数学的内在关联性和整体性魅力所在让我们更加深入地探索数学的奇妙世界吧！